domenica 13 marzo 2016

geometria analitica. Cambiamento di riferimento. Traslazione, rotazione, rototraslazione e coordinate polari

Formule per la traslazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono:
formula nel sistema di assi cartesiani ortogonali formula, eformula nel sistema di assi paralleli e concordi formula.
Se l'origine del nuovo sistema formula ha, rispetto al primo, le coordinate formula, valgono le relazioni:
formula .
Il tuo browser non visualizza le applet Java.
Sul computer che utilizzi deve essere installata la Java Virtual Machine, in una versione 1.4 o successiva.
Muovi il punto P in una posizone a tuo piacere, oppure il punto O' per effettuare una traslazione del sistema di riferimento XO'Y.
Formule per la rotazione degli assi
Le coordinate del generico punto P sono:
formula nel sistema di assi cartesiani ortogonali formula, eformula riferite al sistema formula in cui gli assi sono ruotati di un angolo α, e le origini O e O' coincidono.

Le relazioni:
formula,
consentono di passare da un sistema di riferimento formula al sistema formula ruotato di un angolo αrispetto al precedente.

Disponendo per esempio dell'equazione cartesiana di una curva y=f(x) con queste formule si può trasformare l'equazione della curva nelle nuove variabili X,Y. Un esempio tipico è quello di trasformare l'equazione di un iperbole equilatera nell'equazione della stessa iperbole riferita ai propri asintoti.
Il tuo browser non visualizza le applet Java.
Sul computer che utilizzi deve essere installata la Java Virtual Machine, in una versione 1.4 o successiva.
I due riferimenti xOy e XO'Y hanno la stessa origine O=O'.
Puoi muovere dove vuoi il punto P. Per effettuare una rotazione del sistema di riferimento XO'Y prova a ruotare l'asse X in senso antiorario.
Formule per la rototraslazione degli assi
Questo movimento risulta composto dalla traslazione che porta dal sistema formula al sistema formula
formula,
e dalla rotazione di un angolo α che porta dal sistema formula al sistema formula
formula.

Si ottengono così le formule per la rototraslazione:
formula
Il tuo browser non visualizza le applet Java.
Sul computer che utilizzi deve essere installata la Java Virtual Machine, in una versione 1.4 o successiva.
I due riferimenti XO'Y e X'O'Y' hanno la stessa origine O'.
Muovi il punto P a tuo piacere. Per effettuare la traslazione del riferimento X'O'Y' trascina il punto O'. Per effettuare una traslazione del riferimento XO'Y ruota l'asse X in senso antiorario.
Formule di trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari e viceversa.
La posizione di un punto qualsiasi sul piano è univocamente determinata da:
- la sua distanza dal polo = RAGGIO VETTORE
- l'angolo (ANOMALIA o ASCISSA ANGOLARE) formato dall'asse polare e dal raggio vettore, assumendo l'asse polare come origine, e positivo il senso antiorario.

Per rappresentare tutti i punti del piano si conviene che:
formulaformula.

Osservazioni:
- Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla.
- L'equazione polare dell'asse é formulaoppure formula
- Tutte le rette passanti per il polo hanno un'equazione del tipo:formula
- Un cerchio con centro nel polo ha un'equazione del tipo:formula
- Il polo ha raggio vettore nullo e anomaliaindeterminata.

Per passare dal sistema cartesiano formula al sistema polare (applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli) si usano le seguenti relazioni:
formula,

Viceversa, per passare dal sistema polare al cartesiano:
formulaformulaformula.

iperbole

Iperbole
» equazione cartesiana:formula
» fuochi: formula
» asintoti: formula , formula
» eccentricità: formula

» equazione cartesiana:
» fuochi: formula
» asintoti:  , formula
» Definizione: l'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.



» Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, l'iperbole è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano parallelo all'asse del cono.

Iperbole equilatera riferita agli asintoti
» equazione cartesiana: formula
» lunghezza del semiasse trasverso: formula

» coordinate dei vertici sul semiasse trasverso:
formula
» coordinate dei fuochi:
formula

ellisse

» equazione cartesiana: formula
» fuochi:
formula
formula

» vertici: formula
» lunghezza asse maggiore = 2a
» lunghezza asse minore = 2b
» eccentricità : formula
»  equazione della retta tangente all’ellisse nel suo punto p con zerotangente in P0
» Coefficienti angolari m delle rette tangenti all’ellisse condotte dal punto esterno p con zero, sono le soluzioni dell’equazione : coefficienti angolari
Definizione: l'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante (=2a) la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.




» Vista come sezione di un cono rotondo indefinito, la ellisse è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano, non parallelo alla generatrice, e incidente l'asse del cono.

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