domenica 6 marzo 2011

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI


EQUAZIONI E DISEQUAZIONI





Equazioni

Si definisce equazione una relazione matematica tra quantità note, dette coefficienti e quantità non note dette incognite. Il grado dell'equazione é dato dalla potenza massima con cui le incognite compaiono nella relazione. Un esempio di equazione di primo grado nell'incognita $x$ èMATHI coefficienti $a$ e $b$ possono essere
  1. numeri reali;
  2. parametri: quantità che si suppongono note e variabili entro determinati intervalli.
In questo ultimo caso, l'equazione si dice parametrica.
Risolvere un'equazione significa trovare quei valori dell'incognita che soddisfano la relazione data.
Si procede in modo molto semplice:
  • si isolano tutti i termini che contengono l'incognita da quelli che non la contengono;
  • si pongono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza e si risolve.




Esempio Diamo un esempio di risoluzione passo-passo per un'equazione di primo grado.MATH




Un'equazione algebrica di secondo grado (cioè un'equazione in cui l'incognita compare con una potenza massima quadratica), nell'incognita $x$, quando è ridotta a forma normale è del tipo:MATHdove $a$, $b$, $c$ sono dei coefficienti reali noti e, in particolare, il terzo di essi è appunto detto termine noto.
Un'equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, si dice:
  • completa, quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero;
  • incompleta, quando almeno uno dei tre coefficienti $b$ e $c$ è uguale a zero (in particolare, se solo $c=0$ l'equazione si dice spuria; se $b=0$, si dice pura).
L'individuazione delle soluzioni (dette anche radici dell'equazione), ovvero di ogni numero reale che sostituito al posto dell'incognita, nell'equazione data, fa assumere al primo membro dell'equazione lo stesso valore del secondo membro, si ottiene attraverso la ben nota formula
MATHLa quantità sotto radice quadrata e cioè $b^{2}-4ac$ permette di stabilire se le radici di una equazione di secondo grado appartengano al campo dei numeri reali e per questa ragione viene anche denominata discriminante e indicata col simbolo $\Delta $.
Vi sono tre possibilità:
  1. se $\Delta >0$ si hanno $2$ radici reali e distinteMATH
  2. se $\Delta =0$ si hanno $2$ radici reali e coincidentiMATH
  3. se $\Delta <0$ si hanno $2$ radici complesse coniugateMATH




Disequazioni

Se $A\left( x\right) $ e $B\left( x\right) $ sono due polinomi nella variabile reale $x$, il problema di sapere se esistono dei valori della $x$ per i quali il valore di $A\left( x\right) $ risulta minore o maggiore del valore di $B\left( x\right) $, si chiama disequazione razionale intera dell'incognita $x$, e si scrive:MATHOgni numero reale che risponde positivamente a tale problema si chiama soluzione della disequazione e l'insieme di tutte le soluzioni viene indicato con $S$. Risolvere una disequazione vuol dire trovare, qualora esista, l'insieme MATH di valori che sostituiti ad $x$ nella disequazione verificano il verso della disuguaglianza. I valori $x\in I$ si dicono soluzioni della disequazione.
Le disequazioni si distinguono in:
  • Possibili: se ammettono soluzioni, $I\neq \Phi ;$
    • determinate se ammettono un numero finito di soluzioni;
    • indeterminate se ammettono un numero non finito di soluzioni.
  • Impossibili: se non ammettono soluzioni, $I=\Phi ;$
In particolare, una disequazione in MATH che ha come soluzioni $\forall x\in A$ si dice identicamente verificata.
Una disequazione di secondo grado espressa in forma standard MATH
ha soluzioni che dipendono
  • dal segno di $a$ detto coefficiente dominante;
  • dal discriminante $\Delta =b^{2}-4ac$ dell'equazione associata $ax^{2}+bx+c=0$.
In particolare si ottengono le seguenti soluzioni.
Quando $a>0,$MATH
Quando $a<0,$MATHSe, invece, si considera MATH
risultano determinate le seguenti soluzioni:
  • quando $a>0,$MATH
  • quando $a<0,$MATH
Una disequazione razionale fratta espressa in forma standard
MATH
ha soluzioni che dipendono dal segno delle espressioni al numeratore e denominatore.
Una frazione è infatti positiva quando i segni del numeratore e denominatore sono concordi, perciò in questo caso le soluzioni sono l'unione delle soluzioni dei due sistemi di disequazioni seguenti:MATH
Esercizio Risolvere la seguente disequazione:MATH
Da: MATHsi aggiungono o si sottraggono elementi da entrambe le espressioni, ottenendo: MATHda cui, sommando i termini simili si ha: MATHed infine dividendo per $9$ (numero positivo), si haMATHConcludendo, si ha che la disequazione $4x-2-3x+5<-8x-1$ viene soddisfatta per ogni $x<-4/9.$
Esercizio Risolvere la seguente disequazione:MATH
MATHMATHallora le soluzioni appartengono al seguente intervallo:MATH

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