Metodo Di Cramer

Definizione 3.3.1

Un sistema lineare si dice quadrato se la matrice incompleta è una matrice quadrata.

Dal teorema di Rouche'-Capelli si deduce il seguente risultato

Teorema 3.3.2

(Cramer)Un sistema quadrato ammette una ed una sola soluzione se e solo se la sua matrice incompleta è invertibile.

Esempio 3.3.3

Il sistema lineare
è un sistema lineare quadrato.

Nel caso in cui si voglia risolvere un sistema lineare quadrato con un numero piccolo di equazioni (diciamo al più tre) può essere conveniente adoperare la regola di Cramer.

Teorema 3.3.4

(Regola di Cramer) Sia un sistema lineare di equazioni in incognite. Se , allora il sistema lineare ammette un'unica soluzione le cui componenti sono date da:

(3.1)

 dove è la matrice che si ottiene da sostituendo la i-esima colonna di con la colonna dei termini noti.

Dim.

Dalla condizione di invertibilita' di matrici, abbiamo che è invertibile, quindi possiamo moltiplicare ambo i membri dell'equazione matriciale per , ottenendo:da cui, per le proprietà del prodotto righe per colonne,

(3.2)

 

L'unicita dell'inversa di e la (3.2) garantiscono che il sistema considerato ha un'unica soluzione.

Esplicitando la (3.2) nelle sue componenti e ricordando come si caratterizza la matrice inversa, si ha:                                                                                   (3.3)Si può verificare facilmente che la quantità che compare a numeratore di (3.3) è esattamente pari a , dove è la matrice che si ottiene da sostituendo la i-esima colonna di con la colonna dei termini noti (basta infatti calcolare utilizzando lo sviluppo di Laplace secondo la colonna -esima di ). Si hanno quindi le (3.1).

Esempio 3.3.5

Si consideri il sistema lineare di equazioni in incognite dove , e Risulta e la soluzione è , con e

Osservazione 3.3.6

La regola di Cramer può essere adoperata anche per un sistema non quadrato, cioè se è dato un sistema di equazioni in incognite, di rango , allora tale sistema è equivalente ad un altro sistema ridotto individuato dalle righe linearmente indipendenti. D'altra parte, è possibile assegnare ad incognite altrettanti parametri (che vanno riletti nel termine noto), si perviene, così, ad un sistema di equazioni in incognite al quale si applica la regola di Cramer per i sistemi quadrati.

Esempio 3.3.7

Sia dato il sistema di tre () equazioni in quattro () incognite E' facile verificare che il rango di tale sistema è due (), infatti la seconda equazione è combinazione lineare della prima e della terza equazione. Il teorema di Rouche' Capelli ci dice allora che ci sono soluzioni (), ottenibili risolvendo il sistema Assegnando allora a e a due valori arbitrari (parametri), i.e. , si ottiene il sistema Tale sistema è quadrato ed è applicabile la regola di Cramer, che dà luogo a e la quaterna di soluzioni è